ეროვნული სასწავლო გეგმა

VIII კლასი

მათემატიკა

სტანდარტი

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით:

რიცხვები და მოქმედებები	კანონზომიერებები და ალგებრა	გეომეტრია და სივრცის აღქმა	მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა
მათ. VIII.1. მოსწავლეს შეუძლია პოზიციური სისტემის და რიცხვის ჩაწერის სტანდარტული ფორმის გამოყენება. მათ. VIII.2. მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება და მათი შედეგის შეფასება. მათ. VIII.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება. მათ. VIII.4. მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა.	მათ. VIII.5. მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის წრფივი დამოკიდებულების ამოცნობა, გაანალიზება და გამოსახვა. მათ. VIII.6. მოსწავლეს შეუძლია ორ სიმრავლეს შორის შესაბამისობის აგება, გამოსახვა და გამოკვლევა. მათ. VIII.7. მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას.	მათ. VIII.8. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურათა თვისებების გამოყენება ფიგურათა კლასიფიცირებისათვის და მათი სახეობების შესადარებლად. მათ. VIII.9. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურისა და მისი ელემენტების ზომების მოძებნა. მათ. VIII.10. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული დებულებების მართებულობის დასაბუთება.	მათ. VIII.11. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოპოვება და მათი წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით. მათ. VIII.12. მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითი მოვლენების ამოცნობა და ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა. მათ. VIII.13. მოსწავლეს შეუძლია ხდომილობათა ალბათობების შეფასება და მსჯელობა ხდომილობათა მოსალოდნელობის შესახებ ფარდობით სიხშირესა და ალბათობას შორის კავშირის გამოყენებით.

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები

მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებები

მათ. VIII.1.  მოსწავლეს შეუძლია პოზიციური სისტემის და რიცხვის ჩაწერის სტანდარტული ფორმის გამოყენება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• მოცემული სიზუსტით ამრგვალებს მთელ რიცხვებსა და ათწილადებს,  განასხვავებს პერიოდული ათწილადის შემოკლებით ჩაწერას დამრგვალებისგან. (მაგალითად, “დაამრგვალე მეასედის სიზუსტით და შეადარე 0.7(6) და 0.767”);
• პოზიციური სისტემის გამოყენებით ასაბუთებს გაყოფადობის ნიშნებს; (ერთნიშნა) რიცხვის თანმიმდევრული ხარისხების განხილვისას მსჯელობს ერთეულების თანრიგებში მდგომ ციფრთა პერიოდული განმეორების შესახებ (მაგალითად “რომელი ციფრი იქნება ერთეულების თანრიგში, თუ პოზიციური სისტემით ჩავწერთ 2  ხარისხად 11-ს?”);
• წერს რიცხვებს სტანდარტული ფორმით და პირიქით, სტანდარტული ფორმით  მოცემულ რიცხვს წერს პოზიციური სისტემის გამოყენებით; ადარებს რიცხვის ჩაწერის სხვადასხვა ფორმებს (მაგალითად, რა უპირატესობა აქვს სტანდარტულ ფორმას  რიცხვებზე მოქმედებების შესრულებისას).

მათ. VIII.2.  მოსწავლეს შეუძლია რაციონალურ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება და მათი შედეგის შეფასება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• იყენებს შეფასებას რაციონალურ რიცხვებზე შესრულებული გამოთვლების (მათ შორის ხარისხი და ფესვი) შედეგის ადეკვატურობის შესამოწმებლად;
• იყენებს რიცხვის ჩაწერის ეკვივალენტურ ფორმებს (მაგალითად, სტანდარტული ფორმა) გამოთვლების შესრულების და/ან გამოთვლების შედეგის შეფასებისას;
• ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით ირჩევს რა უფრო მიზანშეწონილია - მოქმედებათა შედეგის შეფასება თუ მისი ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა;
• ახდენს რიცხვიდან კვადრატული/კუბური ფესვის ამოღებისა და რიცხვის კვადრატში/კუბში აყვანის ოპერაციების თვისებების (მათ შორის, ამ ოპერაციების ურთიერთშებრუნებულობის) დემონსტრირებას;
• ასაბუთებს მთელმაჩვენებლიანი ხარისხის თვისებებს და ახდენს მათ დემონსტრირებას.

მათ. VIII.3.  მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების ზოგიერთი ხერხის გამოყენება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• განასხვავებს დებულების წანამძღვარს/წანამძღვრებს და დასკვნას; ცვლის დებულების წანამძღვარს და მსჯელობს დასკვნის მართებულობის შესახებ;
• აყალიბებს და ასაბუთებს მარტივ დებულებას მთელი რიცხვების თვისებების ან მათზე მოქმედებების შედეგის შესახებ. (მაგალითად, "თუ კენტ რიცხვს დავუმატებთ კენტ რიცხვს, შედეგად მივიღებთ...");
• შესაბამის შემთხვევაში ახდენს რიცხვების თვისებების შესახებ გამონათქვამის არამართებულობის დასაბუთებას (მაგალითად, კონტრმაგალითის გამოყენებით); აყალიბებს მოცემული დებულების საწინააღმდეგო დებულებას;
• ასაბუთებს ან ხსნის ამოცანის ამოხსნისას გამოყენებულ ხერხს.

მათ. VIII.4.  მოსწავლეს შეუძლია გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ორი (წრფივი მოდელით მოცემული) სამომხმარებლო კონტრაქტიდან ან მომსახურების გეგმიდან უკეთესის შესარჩევად ასრულებს გამოთვლებს და იღებს გადაწყვეტილებას;
• ხსნის ბუნებისმეტყველების დარგებიდან მომდინარე ამოცანებს გამოთვლებზე;
• იყენებს გამორიცხვის ან ამოწურვის მეთოდს რიცხვებზე ამოცანების ამოხსნისას და განმარტავს გამოყენებულ ხერხს (მაგალითად, ავსებს არითმეტიკული მოქმედების წერითი ალგორითმის ნიმუშს, სადაც ზოგიერთი რიცხვი სიმბოლოებით არის შეცვლილი);
• ირჩევს და იყენებს სიდიდის ცვლილების სიჩქარის შესაფერის ერთეულებს; გამოსახავს მცირე ერთეულს დიდი ერთეულის გამოყენებით.

მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა

მათ. VIII.5.  მოსწავლეს შეუძლია სიდიდეებს შორის წრფივი დამოკიდებულების ამოცნობა, გაანალიზება და გამოსახვა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         მისთვის ნაცნობი სიდიდეებისათვის ასახელებს სიდიდეებს შორის წრფივ დამოკიდებულებებს (მაგალითად, თანაბარი მოძრაობისას განვლილი მანძილის დამოკიდებულება დროზე);

·         განასხვავებს წრფივ და არაწრფივ დამოკიდებულებებს მიუხედავად დამოკიდებულების გამოსახვის ხერხისა; მსჯელობს წრფივ და არაწრფივ დამოკიდებულებებს შორის განსხვავებაზე;

·         სიტყვიერად ჩამოყალიბებულ დებულებას სიდიდეებს შორის დამოკიდებულებისა და მიმართების შესახებ გამოსახავს ალგებრულად; ალგებრულად მოცემულ დამოკიდებულებას გამოსახავს გრაფიკულად, ცხრილით ან აყალიბებს სიტყვიერად.

მათ. VIII.6.          მოსწავლეს შეუძლია ორ სიმრავლეს შორის შესაბამისობის აგება, გამოსახვა და გამოკვლევა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         აგებს რეალური ვითარების ადეკვატურ შესაბამისობას ორ მოცემულ სიმრავლეს შორის (მაგალითად, მოსწავლეები და მერხები საკლასო ოთახში) და ცხრილის ან სქემის საშუალებით გამოსახავს მას;

·         ასახელებს ერთსა და იმავე შესაბამისობას შესაბამისობის გამოსახვის ხერხისაგან დამოუკიდებლად;

·         რაიმე ხერხით (სიტყვიერად, ცხრილის ან სქემის საშუალებით) მოცემული შესაბამისობისათვის პოულობს მითითებული სიმრავლის ანასახს/წინასახეს.

მათ. VIII.7.  მოსწავლეს შეუძლია განტოლებათა სისტემებისა და უტოლობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         ტექსტური ამოცანის ამოსახსნელად ადგენს და ხსნის ორუცნობიან  წრფივ განტოლებათა სისტემას; ახდენს ამონახსნის ინტერპრეტაციას ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით;

·         ირჩევს ხერხს და ხსნის ორუცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემას; ახდენს ამონახსნის სიმრავლურ და გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას;

·         ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას და რეალური ვითარების მოდელირებისას ადგენს და ხსნის ერთუცნობიან წრფივ უტოლობებს; ახდენს ამონახსნის სიმრავლურ ინტერპრეტაციას.

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მათ. VIII.8.  მოსწავლეს შეუძლია ფიგურათა თვისებების გამოყენება ფიგურათა კლასიფიცირებისათვის და მათი სახეობების შესადარებლად.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         აყალიბებს მიმართებებს (მაგალითად ზოგადობა-კერძოობა) ფიგურათა სახეობებს ან თვისებებს შორის, სქემატურად გამოსახავს ამ მიმართებებს (მაგალითად ცხრილის ან დიაგრამის საშუალებით);

·         ფიგურის მოცემულ თვისებებს (მათ შორის სიმეტრიულობა) შორის ირჩევს თვისებათა იმ მინიმალურ ერთობლიობას, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს ამ ფიგურას;

·         მოცემული ხედების მიხედვით ასახელებს სივრცული ფიგურის შესაძლო სახეობას.

მათ. VIII.9.  მოსწავლეს შეუძლია ფიგურისა და მისი ელემენტების ზომების მოძებნა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         იყენებს ფიგურათა თვისებებს და ტოლი ფიგურების შესაბამისი ელემენტების შედარების მეთოდს ფიგურის ელემენტის უცნობი ზომის მოსაძებნად;

·         იყენებს დეკარტეს კოორდინატებს ფიგურის ან მისი ელემენტის უცნობი ზომის მოსაძებნად;

·         პოულობს ფიგურის ფართობს მარტივ ფიგურებად დაყოფის ან მარტივ ფიგურამდე შევსების ხერხით;

·         იყენებს მოცულობის ადიციურობას არაგადამფარავი ფიგურების კომბინაციით მიღებული ფიგურების მოცულობების შესადარებლად/მოსაძებნად.

მათ. VIII.10.          მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული დებულებების მართებულობის დასაბუთება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• მსჯელობისას განასხვავებს წინაპირობებს და შედეგს (მათ შორის - აქსიომას და თეორემას);
• დედუქციური და ინდუქციური მსჯელობის ნიმუშში აღადგენს გამოტოვებულ საფეხურს/საფეხურებს;
• იყენებს ალგებრულ გარდაქმნებს, ტოლობისა და უტოლობების  თვისებებს გეომეტრიულ დებულებათა დასაბუთებისას;
• იყენებს დეკარტეს კოორდინატებს გეომეტრიული ობიექტის თვისებების დასადგენად და დასაბუთებისთვის (მაგალითად, მართკუთხედის დიაგონალების ტოლობის საჩვენებლად);
• იყენებს გეომეტრიულ გარდაქმნებს და მათ კომპოზიციებს სიბრტყეზე ფიგურათა შორის მიმართების (მაგალითად, ტოლობის) დასაბუთებისთვის.

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

მათ. VIII.11.          მოსწავლეს შეუძლია მონაცემების მოპოვება და მათი წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ატარებს შემთხვევით ექსპერიმენტს შემთხვევითობის წარმომქმნელი რომელიმე მოწყობილობით, აგროვებს მონაცემებს და წამოადგენს მათ სიხშირული ცხრილის სახით;
• ქმნის მარტივ კითხვარს, განსაზღვრავს რესპონდენტებს, აგროვებს მონაცემებს და წარმოადგენს მათ გრაფიკული ფორმით;
• ერთი გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს წარმოადგენს განსხვავებული გრაფიკული ფორმით და წარმოაჩენს თითოეული ფორმის ხელსაყრელ და არახელსაყრელ მხარეებს

მათ. VIII.12.          მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითი მოვლენების ამოცნობა და ხდომილობათა ალბათობების გამოთვლა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ასახელებს აუცილებელ და შეუძლებელ ხდომილობებს, მოცემული ხდომილობის საწინააღმდეგო ხდომილობას, თანაბრად მოსალოდნელ ხდომილობებს, მოცემულ ხდომილობაზე მეტად/ნაკლებად მოსალოდნელ ხდომილობებს;
• აღწერს შემთხვევითი ექსპერიმენტის ხდომილობების ერთობლიობას, იყენებს ვარიანტების დათვლის ხერხებს ხდომილობათა ალბათობების გამოსათვლელად;
• იყენებს ალბათობის თვისებებს ხდომილობათა ალბათობების გამოსათვლელად, გამოსახავს ხდომილობათა ალბათობებს წილადების, ათწილადების და პროცენტების საშუალებით

მათ. VIII.13.          მოსწავლეს შეუძლია ხდომილობათა ალბათობების შეფასება და მსჯელობა ხდომილობათა მოსალოდნელობის შესახებ ფარდობით სიხშირესა და ალბათობას შორის კავშირის გამოყენებით.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• აკეთებს მონაცემთა პირველად დამუშავებას და მის საფუძველზე გამოთქვამს ვარაუდს ხდომილობის შესახებ – არის თუ არა ორი ან რამდენიმე ხდომილობა თანაბრად მოსალოდნელი, ერთი რომელიმე ხდომილობა უფრო მოსალოდნელი, ვიდრე მეორე და რამდენჯერ;
• ატარებს შემთხვევით ექსპერიმენტს შემთხვევითობის წარმომქმნელი მოწყობილობით და აფასებს ხდომილობის ალბათობას ფარდობითი სიხშირის საშუალებით, მსჯელობს განსხვავებაზე თეორიულ (მოსალოდნელ) შედეგებსა და ემპირიულ (ექსპერიმენტულ) შედეგებს შორის;
• ქმნის შემთხვევითობის წარმომქმნელ მოწყობილობას ფარდობითი სიხშირის კერძო მნიშვნელობის მისაღებად.

პროგრამის შინაარსი

1. რაციონალური რიცხვები და მათი ჩაწერა ეკვივალენტური ფორმებით.
2. 1-ზე ნაკლები პროცენტი; 100-ზე მეტი პროცენტი.
3. რიცხვის ჩაწერის სტანდარტული ფორმა და მისი კავშირი პოზიციურ სისტემასთან.
4. მთელმაჩვენებლიანი ხარისხი.
5. ნამრავლის, ფარდობის და ხარისხის აყვანა ხარისხში.
6. ტოლფუძიანი ხარისხების ნამრავლი და შეფარდება.
7. არითმეტიკული ფესვი რიცხვიდან; კუბური ფესვი რიცხვიდან.
8. რიცხვებისა და რიცხვითი გამოსახულებების (მათ შორის ხარისხების ან არითმეტიკული ფესვების შემცველი გამოსახულებების) შედარება.
9. არითმეტიკული მოქმედებები რიცხვებზე; მოქმედებების შედეგის შეფასება.
10. 2-ზე, 3-ზე, 5-ზე, 9-ზე და 10-ზე გაყოფადობის ნიშნები.
11. ნაშთი.
12. ნაშთის კავშირი გაყოფადობის ნიშნებთან.
13. ზომის ერთეულები, მათ შორის კავშირები და გამოყენება: მიმართება სიგრძისა და ფართობის ერთეულებს შორის; ერთი სისტემის  ერთეულის სხვა სისტემის შესაბამისი ერთეულით გამოსახვა.
14. "სამომხმარებლო არითმეტიკა": მარტივად დარიცხული საპროცენტო განაკვეთი; სხვადასხვაგვარი ფასდაკლება; მარტივი ხარჯთაღრიცხვა.
15. წრფივი დამოკიდებულება და მისი გამოსახვა გრაფიკის, ცხრილის და განტოლების საშუალებით.
16. შესაბამისობები სასრულ სიმრავლეებს შორის და მათი გამოსახვის ხერხები.
17. ასახვა ერთი სიმრავლიდან მეორეში.
18. ქვესიმრავლის ანასახი და წინასახე.
19. ორუცნობიან წრფივ განტოლებათა სისტემები და მათი გამოყენება  ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას.
20. განტოლებისა და განტოლებათა სისტემის ამონახსნისა და ამონახსნთა სიმრავლის ცნებები.
21. ტოლფასი განტოლებები და განტოლებათა სისტემები.
22. ერთუცნობიანი წრფივი უტოლობები.
23. ოთხკუთხედები: ელემენტები, კლასიფიკაცია, თვისებები.
24. კუთხის ბისექტრისა და მისი თვისება.
25. მოსაზღვრე და ვერტიკალური კუთხეები.
26. წრფეთა მართობულობა.
27. ორი პარალელური წრფის მესამე წრფით გადაკვეთისას მიღებული კუთხეების თვისებები.
28. თალესის თეორემა.
29. სამკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი.
30. მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი.
31. სამკუთხედის მედიანა, ბისექტრისა, სიმაღლე და მათი თვისებები.
32. სამკუთხედის შუახაზი და მისი თვისება.
33. ტოლფერდა/ტოლგვერდა სამკუთხედის თვისებები.
34. ტრაპეციის ელემენტები: ფუძე, ფერდი, სიმაღლე, შუახაზი.
35. ტრაპეციის კერძო სახეები: ტოლფერდა ტრაპეცია, მართკუთხა ტრაპეცია და მათი თვისებები.
36. მართკუთხედის, პარალელოგრამის, ტრაპეციის, წესიერი მრავალკუთხედის ფართობი, მართი პრიზმისა და წესიერი პირამიდის ზედაპირის ფართობი.
37. მოცულობა, მოცულობის თვისება: სხეულის მოცულობა ამ სხეულის შემადგენელი ნაწილების მოცულობების ჯამის ტოლია.
38. პითაგორას თეორემა.
39. კუთხის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი.
40. კოორდინატთა სისტემა: სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის მანძილის გამოსახვა კოორდინატებში, კოორდინატების გამოყენება ფიგურათა თვისებების კვლევაში.
41. გეომეტრიული გარდაქმნები სიბრტყეზე: მობრუნება, გარდაქმნათა კომპოზიციები, მათი გამოყენება ფიგურათა ტოლობის დასადგენად.
42. წრეწირის მხების და ქორდის თვისებები: ურთიერთგადამკვეთი ქორდების თვისებები, ერთი წერტილიდან წრეწირისადმი გავლებული მხებისა და მკვეთის თვისება.
43. აქსიომა და თეორემა.
44. მონაცემთა შეგროვების საშუალებანი: კითხვარის/ანკეტის შედგენა და რესპონდენტთა გამოკითხვა (წარმომადგენლობითი ჯგუფის შერჩევის გარეშე); შემთხვევითი ექსპერიმენტი, შემთხვევითობის წარმომქმნელი მოწყობილობები - მონეტა, ურნა, კამათელი, რულეტი.
45. მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისობრივი ნიშნები: მონაცემთა ფარდობითი სიხშირე მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი: წრიული დიაგრამა ფარდობითი სიხშირის დიაგრამა.
46. ალბათობა: ელემენტარული ხდომილობების სივრცე.
47. ხდომილობა და მოქმედებები ხდომილობებზე.
48. აუცილებელი და შეუძლებელი ხდომილობანი, მოცემული ხდომილობის საწინააღმდეგო ხდომილობა.
49. არათავსებადი ხდომილობები.
50. ვარიანტების დათვლის ხერხები: გადანაცვლებათა რაოდენობა, ჯუფთებათა რაოდენობა, წყობათა რაოდენობა.

1. ვარიანტების დათვლის ხერხების გამოყენება შემთხვევითი ექსპერიმენტის აღსაწერად (მაგალითად, ხისებრი დიაგრამა ან სხვა სქემები); ხდომილობის ალბათობა, ალბათობის თვისებები; ფარდობით სიხშირესა და ალბათობას შორის კავშირი და განსხვავება

  

 

 

XI კლასი

მათემატიკა

სტანდარტი

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით:

რიცხვები და მოქმედებები	კანონზომიერებები და ალგებრა	გეომეტრია და სივრცის აღქმა	მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა
მათ. XI.1. მოსწავლეს შეუძლია რიცხვთა პოზიციური სისტემების/ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეების ერთმანეთთან დაკავშირება. მათ. XI.2.მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა ხერხით და ამ მოქმედებათა შედეგის შეფასება. მათ. XI.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების სხვადასხვა ხერხების გამოყენება მათ. XI.4. მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა.	მათ. XI.5. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება რეალური ვითარების მოდელირებისას. მათ. XI.6. მოსწავლეს შეუძლია გრაფიკული, ალგებრული მეთოდებისა და ტექნოლოგიების გამოყენება ფუნქციის/ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად. მათ. XI.7. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის ცნებებისა და აპარატის გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას.	მათ. XI.8. მოსწავლეს შეუძლია ვექტორებზე ოპერაციების შესრულება და მათი გამოყენება გეომეტრიული და საბუნებისმეტყველო პრობლემების გადაჭრისას. მათ. XI.9. მოსწავლეს შეუძლია დედუქციურ/ინდუქციური მსჯელობის და ალგებრული ტექნიკის გამოყენება გეომეტრიულ დებულებათა დასამტკიცებლად. მათ. XI.10. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას. მათ. XI.11. მოსწავლეს შეუძლია სივრცული ფიგურის კვეთებისა და გეგმილების გამოყენება სივრცული ფიგურის შესასწავლად.	მათ. XI.12. მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო მონაცემების მოპოვება. მათ. XI.13. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია. მათ. XI.14. მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითობის ალბათური მოდელების საშუალებით აღწერა. მათ. XI.15. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები

მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებები

მათ.XI.1. მოსწავლეს შეუძლია რიცხვთა პოზიციური სისტემების/ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეების ერთმანეთთან დაკავშირება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• მოყავს ინფორმაციის ციფრული კოდირების/ტექნოლოგიების  მაგალითები; აკავშირებს რიცხვის სხვადასხვა პოზიციურ სისტემაში ჩაწერას ერთმანეთთან (მაგალითად, ორობით პოზიციურ სისტემაში ჩაწერილ რიცხვს წერს ათობით პოზიციურ სისტემაში);
• ახდენს ირაციონალური რიცხვის რაციონალური რიცხვების მიმდევრობით მიახლოების დემონსტრირებას პრაქტიკულ ამოცანებთან დაკავშირებული გამოთვლების კონტექსტში;
• მსჯელობს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს შორის განსხვავებაზე მათი პოზიციური სისტემის გამოყენებით ჩაწერისას.

მათ.XI.2. მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება სხვადასხვა ხერხით და ამ მოქმედებათა შედეგის შეფასება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ამარტივებს ნამდვილ რიცხვებზე მოქმედებების (მათ შორის ხარისხისა და ლოგარითმის) შემცველ გამოსახულებას ან პოულობს მის მნიშვნელობას  მოქმედებათა თვისებების, თანმიმდევრობისა და მათ შორის კავშირის გამოყენებით;
• პოულობს არითმეტიკული მოქმედების შედეგს დასახელებული სიზუსტით; მსჯელობს შედეგის ცვლილებაზე და ცდომილებაზე, რომელიც გამოწვეულია გამოსახულების წევრების დამრგვალებით;
• იყენებს შეფასების სხვადასხვა ხერხს ნამდვილ რიცხვებზე შესრულებული გამოთვლების (მათ შორის ფესვი და ლოგარითმი მარტივ შემთხვევებში) შედეგის ადეკვატურობის შესამოწმებლად;
• ახდენს უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე სიდიდეების, მათზე მოქმედებებისა და მოქმედებათა შედეგის ინტერპრეტაციას, მიმდევრობის ან რომელიმე პროცესის ამსახველი ფუნქციის კონტექსტში.

მათ.XI.3. მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების სხვადასხვა ხერხების გამოყენება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• იყენებს საწინააღმდეგოს დაშვების მეთოდს ამოცანების ამოხსნისას ან რიცხვების შესახებ მარტივი დებულებების დამტკიცებისას (მაგალითად, საწინააღმდეგოს დაშვებით ამტკიცებს რომელიმე რიცხვის  ირაციონალურობას);
• აყალიბებს და გამოსახავს რიცხვების თვისებების ან რიცხვითი კანონზომიერებების შესახებ გამონათქვამებს შორის კერძო/ზოგადი ტიპის მიმართებებს, იყენებს გამოსახვის ხერხს გამოთქმული მოსაზრების მართებულობის შემოწმებისას/დასაბუთებისას;
• რაოდენობებთან და სიდიდეებთან დაკავშირებული მსჯელობის ნიმუშზე ახდენს მსჯელობის ხაზის და დასკვნითი ნაწილის ანალიზს, აღნიშნავს მის სუსტ და ძლიერ მხარეებს.

მათ.XI.4. მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• იყენებს რიცხვის ხარისხსა და ლოგარითმს, ხარისხისა და ლოგარითმის თვისებებს პრაქტიკული საქმიანობიდან ან მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდირე ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად, ენტროპია ბიოლოგიასა და ფიზიკაში, რადიოაქტიული დაშლა და დათარიღების მეთოდები);
• განსაზღვრავს და იყენებს შესაფერის ერთეულებს სიდიდის ცვლილების სიჩქარის აღსაწერად; ადგენს სხვადასხვა ერთეულებს შორის თანაფარდობას.

 

მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა

მათ. XI.5     მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციებისა და მათი თვისებების გამოყენება რეალური ვითარების მოდელირებისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• იყენებს (ტრიგონომეტრიულ, უბან-უბან წრფივ, საფეხურებრივ, მაჩვენებლიან, ლოგარითმულ) ფუნქციებს და მათ თვისებებს რეალური პროცესების მოდელირებისას;
• ახდენს ფუნქციის ნულების, ფუნქციის მაქსიმუმის/მინიმუმის ინტერპრეტირებას იმ რეალური პროცესის/ვითარების კონტექსტში, რომელიც ამ ფუნქციით აღიწერება;
• იყენებს სიბრტყეზე წრფივი ოპტიმიზაციის მეთოდებს რეალურ ვითარებასთან დაკავშირებულ ამოცანებში (მაგალითად, შეზღუდული რესურსების ეფექტიანად გამოყენების ამოცანებში) წრფივის ფუნქციის მაქსიმუმის/მინიმუმის მოძებნისას.

მათ. XI.6 მოსწავლეს შეუძლია გრაფიკული, ალგებრული მეთოდებისა და ტექნოლოგიების გამოყენება ფუნქციის/ფუნქციათა ოჯახის თვისებების შესასწავლად.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• იყენებს ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიულ ნიშნებს (მაგალითად, საკოორდინატო ღერძის პარალელური წრფის მიმართ სიმეტრიულობა, კოორდინატთა სათავის მიმართ ცენტრულად სიმეტრიულობა, პარალელური გადატანის მიმართ ინვარიანტულობა) ფუნქციის თვისებების დასადგენად;
• იყენებს შესაფერის გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს ან ტექნოლოგიებს (ტრიგონომეტრიული, უბან-უბან წრფივი, საფეხურებრივი, მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული) ფუნქციის ისეთი თვისებების დასადგენად, როგორიცაა: ზრდადობა/კლებადობა, ნიშანმუდმივობა, პერიოდულობა/პერიოდი, ფესვები, ექსტრემუმები;
• აღწერს თუ რა გავლენას ახდენს ფუნქციის პარამეტრების ცვლილება ფუნქციის გრაფიკზე.

მათ.XI.7  მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის ცნებებისა და აპარატის გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ასახელებს ისეთ სტრუქტურებს (მაგალითად, მიმდევრობებს, ასახვებს; მათ შორის რეალურ ვითარებაში), რომელთა აღწერისას შესაძლებელია რეკურენტული წესის გამოყენება; იყენებს რეკურენტულ წესს ასეთი სტრუქტურის აღსაწერად;
• დებულებების დამტკიცებისას, შესაბამის შემთხვევებში, იყენებს მათემატიკურ ინდუქციას (მათ შორის არითმეტიკულ/გეომეტრიულ პროგრესიასთან დაკავშირებული ზოგიერთი ფორმულის მისაღებად);
• იყენებს ხისებრ დიაგრამებს და გრაფებს ვარიანტების დასათვლელად, გეგმის/განრიგის შესადგენად, ოპტიმიზაციის დისკრეტული ამოცანების ამოსახსნელად.

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მათ.XI.8  მოსწავლეს შეუძლია ვექტორებზე ოპერაციების შესრულება და მათი გამოყენება გეომეტრიული და საბუნებისმეტყველო პრობლემების გადაჭრისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ახდენს ვექტორის სიგრძისა და მიმართულების, ვექტორებზე მოქმედებების (შეკრება, სკალარზე გამრავლება, სკალარული ნამრავლი) და მათი თვისებების გეომეტრიულ და ფიზიკურ ინტერპრეტაციას;
• იყენებს ვექტორებს გეომეტრიული დებულებების დასამტკიცებლად და ზომების დასადგენად სიბრტყეზე;
• იყენებს კოორდინატებს ვექტორებისა და ვექტორებზე ოპერაციების გამოსახვისას.

მათ.XI.9  მოსწავლეს შეუძლია დედუქციურ/ინდუქციური მსჯელობის და ალგებრული ტექნიკის გამოყენება გეომეტრიულ დებულებათა დასამტკიცებლად.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• პოულობს ლოგიკურ კავშირებს (მაგალითად, გამომდინარეობა) მოცემულ გეომეტრიულ დებულებებს შორის; იყენებს დედუქციურ და ინდუქციურ მსჯელობას;
• განაზოგადებს ცალკეულ გეომეტრიულ დებულებებს; აყალიბებს ჰიპოთეზას და ასაბუთებს/უარყოფს მას (მათ შორის მათემატიკური ინდუქციის გამოყენებით; მაგალითად, ეილერის ფორმულა სიბრტყეზე და სივრცეში);
• მსჯელობს ევკლიდური გეომეტრიის აქსიომატიკის არაწინააღმდეგობრიობის შესახებ;
• იყენებს ალგებრულ გარდაქმნებს გეომეტრიულ დებულებათა დასამტკიცებლად.

მათ.XI.10  მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ასახელებს გეომეტრიული ფიგურის იმ მახასიათებლებს, რომლებიც არ იცვლება მოცემული გეომეტრიული გარდაქმნისას (გარდაქმნის ინვარიანტებს);
• ფიგურების შესახებ სხვადასხვა მონაცემების (მაგალითად, ფიგურათა ზომები, ფიგურათა წვეროების კოორდინატები, ფიგურათა ელემენტებს შორის ალგებრული თანაფარდობები) გამოყენებით ასაბუთებს ან უარყოფს ორი გეომეტრიული ფიგურის ეკვივალენტობას მოცემული გარდაქმნის ან გარდაქმნის ტიპის მიმართ.

მათ.XI.11 მოსწავლეს შეუძლია სივრცული ფიგურის კვეთებისა და გეგმილების გამოყენება სივრცული ფიგურის შესასწავლად.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• მსჯელობს სივრცული ფიგურის კვეთის შესაძლო ფორმაზე და აგებს სივრცული ფიგურის მითითებულ კვეთას;
• პოულობს ფიგურის გეგმილს მითითებული პარალელური დაგეგმილებისას;
• მსჯელობს სივრცული ფიგურის შესაძლო ფორმაზე მისი კვეთის/კვეთების  მიხედვით;
• მსჯელობს ფიგურის შესაძლო ფორმაზე მისი ანასახის მიხედვით პარალელური დაგეგმილებისას.

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

მათ.XI.12 მოსწავლეს შეუძლია დასმული ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო მონაცემების მოპოვება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ირჩევს და იყენებს მონაცემთა შეგროვების შესაფერის საშუალებას (დაკვირვება, გაზომვა, მითითებულ რესპონდენტთა ჯგუფის გამოკითხვა მზა ანკეტით/კითხვარით, მონაცემთა მოპოვება მონაცემთა სხვადასხვა წყაროებიდან), ასაბუთებს თავის არჩევანს;
• განსაზღვრავს რესპონდენტებს, ირჩევს კითხვების დასმის შესაფერის ფორმას (ღია კითხვები, დახურული კითხვები, უჯრედის მონიშვნა, შკალაზე მონიშვნა), ქმნის მარტივ კითხვარს და იყენებს მას მონაცემთა შესაგროვებლად;
• წარმოადგენს საკითხის შესასწავლად შესაფერისი ექსპერიმენტის გეგმას, ატარებს ექსპერიმენტს და აგროვებს მონაცემებს.

მათ.XI.13  მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         ირჩევს მონაცემთა წარმოდგენის შესაფერის გრაფიკულ ფორმებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს, აგებს და განმარტავს ცხრილებს/დიაგრამებს (მათ შორის ინტერვალთა კლასებად დაჯგუფებული მონაცემებისათვის);

·         ადგენს სიხშირეთა განაწილებას, წარმოადგენს მას გრაფიკული ფორმით და აღწერს მას სიმეტრიულობის, მოდების რაოდენობის, გაშლილობის ან სხვა ნიშნების საშუალებით;

·         ერთი გრაფიკული ფორმით წარმოდგენილ მონაცემებს წარმოადგენს განსხვავებული გრაფიკული ფორმით და წარმოაჩენს თითოეული ფორმის ხელსაყრელ და არახელსაყრელ მხარეებს;

·         ამოიცნობს დიაგრამის მცდარ ინტერპრეტაციებს ან არაკორექტულად აგებულ/გაფორმებულ დიაგრამებს, განმარტავს და ასწორებს ნაკლს.

მათ.XI.14  მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითობის ალბათური მოდელების საშუალებით აღწერა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         აღწერს შემთხვევითი ექსპერიმენტის ელემენტარულ ხდომილობათა სივრცეს, ითვლის დამოუკიდებელ ხდომილობათა ალბათობებს (მათ შორის ჯამის ალბათობის ფორმულების გამოყენებით);

·         ითვლის რთულ ხდომილობათა ალბათობებს კომბინატორული ანალიზის გამოყენებით;

·         შემთხვევითი ექსპერიმენტის ჩასატარებლად ერთ მოწყობილობას ცვლის მისი ეკვივალენტური სხვა მოწყობილობით და ასაბუთებს არჩევანს.

მათ.XI.15  მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         ითვლის და იყენებს შემაჯამებელ რიცხვით მახასიათებლებს დაუჯგუფებელ მონაცემთა ერთობლიობების დასახასიათებლად/შესადარებლად და მოსაზრებათა/არგუმენტების შესაფასებლად;

·         განსაზღვრავს მოდალურ კლასს და აფასებს საშუალოს, მედიანას და დიაპაზონს დაჯგუფებულ მონაცემთა სიმრავლისთვის, ითვალისწინებს მათ რეალურ ვითარებაში გადაწყვეტილების მიღებისას;

·         გამოთქვამს ვარაუდს ხდომილობის მოსალოდნელობის შესახებ მონაცემთა საფუძველზე (მაგალითად, ფარდობითი სიხშირის მიხედვით) და ასაბუთებს ვარაუდის მართლზომიერებას.

პროგრამის შინაარსი

1.        ნამდვილ რიცხვთა ქვესისტემები: რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეები.

2.        სხვადასხვა პოზიციური სისტემები და მათ შორის კავშირები.

3.        სხვადასხვა სახით მოცემული რიცხვების შედარება/დალაგება.

4.        ალგებრული მოქმედებები ნამდვილ რიცხვებზე.

5.        ნამდვილი რიცხვის დამრგვალება და არითმეტიკული მოქმედებების შედეგის შეფასება, არითმეტიკული მოქმედებების შედეგის მიახლოებითი მნიშვნელობის მოძებნა.

6.        რიცხვის ხარისხი და ლოგარითმი (ნებისმიერი ფუძით).

7.        ძირითადი ლოგარითმული იგივეობა.

8.        ნამრავლის, შეფარდების და ხარისხის ლოგარითმი.

9.        ნაშთების არითმეტიკის ელემენტები.

10.    უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე სიდიდეები და მათზე მოქმედებები მიმდევრობების და ფუნქციების კონტექსტში.

11.    ტრიგონომეტრიული, უბან-უბან წრფივი, საფეხურებრივი, მაჩვენებლიანი, ლოგარითმული ფუნქციები: განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე; ნულები, მაქსიმუმები და მინიმუმები; ზრდადობის/კლებადობის და ნიშანმუდმივობის შუალედები.

12.    ფუნქციის პერიოდულობა და პერიოდი.

13.    ფუნქციის გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები.

14.    ძირითადი დამოკიდებულებები ერთი და იგივე არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის.

15.    დაყვანის ფორმულები.

16.    მაჩვენებლიანი განტოლებები და უტოლობები და მაჩვენებლიანი განტოლებების და უტოლობების ამოხსნა.

17.    ლოგარითმული განტოლებები და უტოლობები: მუდმივფუძიანი ლოგარითმული განტოლებების და უტოლობების ამოხსნა.

18.    წრფივი ოპტიმიზაციის ამოცანები სიბრტყეზე.

19.    მათემატიკური ინდუქცია და მისი გამოყენება რეკურენტული წესით მოცემული რიცხვითი მიმდევრობის ზოგადი წევრის ფორმულის მისაღებად (მაგალითად: არითმეტიკული/გეომეტრიული პროგრესია, ფიბონაჩის მიმდევრობა).

20.    წრფეებს შორის, წრფესა და სიბრტყეს შორის, სიბრტყეებს შორის მიმართებები სივრცეში.

21.    წერტილის, წრფის, მონაკვეთის ორთოგონალური დაგეგმილება სიბრტყეზე.

22.    მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

23.    წრფისა და სიბრტყის ურთიერთმართობულობა და ურთიერთმართობულობის ნიშანი.

24.    წრფისა და სიბრტყის პარალელობა და პარალელობის ნიშანი.

25.    სიბრტყეთა პარალელობა და პარალელობის ნიშანი.

26.    კუთხე სიბრტყეებს შორის.

27.    სიბრტყეთა ურთიერთმართობულობა და ურთიერთმართობულობის ნიშანი.

28.    კუთხე წრფესა და სიბრტყეს შორის.

29.    ორწახნაგა კუთხე და მისი ზომა.

30.    სიბრტყისადმი მართობი და დახრილი.

31.    თეორემა სამი მართობის შესახებ.

32.    ცილინდრი და მისი ელემენტები: რადიუსი, მსახველი, ფუძე, სიმაღლე, ცილინდრის ღერძი.

33.    ცილინდრის ღერძული კვეთა.

34.    კონუსი და მისი ელემენტები: წვერო, ფუძე, მსახველი, სიმაღლე.

35.    კონუსის ღერძული კვეთა.

36.    ბირთვი, სფერო და მათი ელემენტები: ცენტრი, რადიუსი, დიამეტრი.

37.    ბირთვის კვეთა სიბრტყით.

38.    ვექტორები და მათზე მოქმედებები: შეკრება, სკალარზე გამრავლება, სკალარული ნამრავლი.

39.    კუთხე ორ ვექტორს შორის; ვექტორის სიგრძე.

40.    ვექტორებისა და ვექტორული ოპერაციების გამოსახვა კოორდინატებში.

41.    გეომეტრიული გარდაქმნები სიბრტყეზე: გადაადგილებები და მსგავსების გარდაქმნები.

42.    ფიგურის (მრავალკუთხედის, წრის) ინვარიანტები გეომეტრიული გარდაქმნის მიმართ.

43.    სივრცული ფიგურის კვეთები და გეგმილები.

44.    მონაცემთა შეგროვების საშუალებანი: კითხვარის/ანკეტის შედგენა და რესპონდენტთა გამოკითხვა (წარმომადგენლობითი ჯგუფის შერჩევის გარეშე).

45.    მონაცემთა კლასიფიკაცია და ორგანიზაცია: რაოდენობრივ მონაცემთა დაჯგუფება სასრული რაოდენობის ინტერვალთა კლასებად.

46.    მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისობრივი ნიშნები: ტიპური და გამორჩეული (მაგალითად, ექსტრემალური, იშვიათი) მონაცემები; სიხშირეთა განაწილება; დაგროვილი სიხშირე, დაგროვილი ფარდობითი სიხშირე; მონაცემთა პოზიციის მახასიათებელი - რანგი.

47.    მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემებისთვის: დიაგრამის ნაირსახეობანი (ფოთლებიანი ღეროების მსგავსი დიაგრამები, ჰისტოგრამა, სიხშირული პოლიგონი, ოგივა, დაგროვილ ფარდობით სიხშირეთა დიაგრამა).

48.    შემაჯამებელი რიცხვითი მახასიათებლები თვისობრივი და დაუჯგუფებელი რაოდენობრივი მონაცემებისთვის: მონაცემთა გაფანტულობის საზომები (სტანდარტული გადახრა).

49.    ალბათობა: ოპერაციები ხდომილობებზე (ხდომილობათა გაერთიანება, თანაკვეთა); დამოუკიდებელ ხდომილებათა ალბათობების გამოთვლა ჯამის ალბათობისა და კომბინატორული ანალიზის გამოყენებით; გეომეტრიული ალბათობა მონაკვეთზე და ბრტყელ ფიგურაზე.

  

XII კლასი

მათემატიკა

სტანდარტი

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები მიმართულებების მიხედვით:

რიცხვები და მოქმედებები	კანონზომიერებები და ალგებრა	გეომეტრია და სივრცის აღქმა	მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა
მათ. XII.1. მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა. მათ. XII.2.მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დამტკიცების პროცესისა და მისი შედეგის  ანალიზი.	მათ. XII.3. მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციის ან ფუნქციათა ოჯახის თვისებების კვლევა და დადგენა და ამ თვისებების ინტერპრეტირება კონტექსტთან მიმართებაში. მათ. XII.4. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის მეთოდების გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას.	მათ.XII.5. მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების პოვნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას. მათ. XII.6. მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას.	მათ. XII.7. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია. მათ.XII.8. მოსწავლე აღწერს შემთხვევითობას ალბათური მოდელების საშუალებით. მათ. XII.9. მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორები

მიმართულება: რიცხვები და მოქმედებები

მათ.XII.1.  მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკული საქმიანობიდან მომდინარე პრობლემების გადაწყვეტა.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• მსჯელობს რიცხვებთან დაკავშირებული ალგორითმების მნიშვნელობაზე პრაქტიკული საქმიანობიდან და მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდინარე სხვადასხვა პრობლემების გადაჭრისას;
• იყენებს მაჩვენებლიანი და ლოგარითმული ფუნქციების თვისებებს პრაქტიკული საქმიანობიდან ან მეცნიერების სხვადასხვა დარგებიდან მომდინარე გამოთვლებთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას (მაგალითად უწყვეტად დარიცხული საპროცენტო განაკვეთი, ენტროპია ბიოლოგიასა და ფიზიკაში, ინფორმაციის მოცულობა, რადიოაქტიული დაშლა და დათარიღების მეთოდები);
• სიდიდის ცვლილების გრაფიკული გამოსახვისას ირჩევს და იყენებს შესაფერის სკალას (მაგალითად, ლოგარითმულ სკალას).

მათ.XII.2.  მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დამტკიცების პროცესისა და მისი შედეგის  ანალიზი.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ახდენს რიცხვების შესახებ დებულების ან რაოდენობრივი მსჯელობის ნიმუშის და მისი შედეგის ანალიზს ერთი ან რამდენიმე პირობის, შეზღუდვის ან დაშვების შესუსტება-მოხსნით;
• ასაბუთებს რიცხვების თვისებების ან რიცხვით კანონზომიერებების შესახებ განზოგადებით, ანალოგიით მიღებულ დასკვნებს ან დებულებებს (მათ შორის მათემატიკური ინდუქციის გამოყენებით);
• რაოდენობებთან და სიდიდეებთან დაკავშირებული მსჯელობის ნიმუშზე ახდენს მსჯელობის ხაზის და დასკვნითი ნაწილის კრიტიკულ ანალიზს.

მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრა

მათ.XII.3.  მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციის ან ფუნქციათა ოჯახის თვისებების კვლევა და დადგენა და ამ თვისებების ინტერპრეტირება კონტექსტთან მიმართებაში.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• აღწერს და ადარებს შესწავლილ ფუნქციათა ოჯახებს ისეთი თვისებების მიხედვით, როგორიცაა: განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, ფესვებისა და ექსტრემუმის წერტილთა შესაძლო რაოდენობა, ნიშანმუდმივობისა და ზრდადობა/კლებადობის შუალედები, პერიოდულობა, ასიმპტოტური ქცევა, გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები; ახდენს ამ თვისებების ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში;
• იყენებს შესაფერის გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს და ტექნოლოგიებს ფუნქციის თვისებების (განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, ფესვები და ექსტრემუმის წერტილები, ნიშანმუდმივობისა და ზრდადობა/კლებადობის შუალედები, ლუწობა/კენტობა, პერიოდულობა, ასიმპტოტური ქცევა, გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები) დასადგენად. ახდენს ამ თვისებების ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში;
• აღწერს თუ რა გავლენას ახდენს ფუნქციის პარამეტრების ცვლილება ფუნქციის თვისებებზე; ახდენს ამ გავლენის ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში.
• იყენებს შესწავლილ ფუნქციებს და მათ თვისებებს მოდელირებისას და პრობლემის გადაჭრისას.

მათ.XII.4.  მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის მეთოდების გამოყენება მოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• იყენებს იტერაციას, რეკურსიას და მათემატიკურ ინდუქციას მოდელირებისას, დებულებების დასაბუთებისას, ფორმულების გამოყვანისას, კომბინატორული ამოცანების ამოხსნისას;
• იყენებს გრაფებს, ხისებრ დიაგრამებს და მათ თვისებებს მოდელირებისას და ამოცანების ამოხსნისას.

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმა

მათ.XII.5.  მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების პოვნა/შეფასება და მათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• პოულობს სივრცული ფიგურის მოცულობას;
• იყენებს სივრცული ფიგურის ზომებს შორის ფუნქციურ დამოკიდებულებას ოპტიმიზაციის ზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის რეალური ვითარების შესაბამის ამოცანებში; მაგალითად ცილინდრული ფორმის ღია კონსერვის ყუთის დამზადებაზე იხარჯება S სმ² მასალა. როგორი უნდა იყოს ყუთის წრფივი ზომები, რომ მისი მოცულობა უდიდესი იყოს?);
• იყენებს ვექტორებს გეომეტრიული დებულებების დასამტკიცებლად და ზომების დასადგენად;
• იყენებს ფიგურის ზომებს და მათ შორის კავშირებს გეომეტრიული ალბათობის დასადგენად.

მათ.XII.6.  მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენება გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• ფიგურის გეომეტრიულ გარდაქმნას სიბრტყეზე გამოსახავს დეკარტეს კოორდინატების საშუალებით;
• ასახელებს კოორდინატებში მოცემული გეომეტრიული გარდაქმნის შესაძლო ტიპს (პარალელური გადატანა, სათავის მიმართ ცენტრული სიმეტრია, საკოორდინატო ღერძების მიმართ ღერძული სიმეტრია).

მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკა

მათ.XII.7.  მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელად ხელსაყრელი ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         არჩევს მონაცემთა წარმოდგენის შესაფერის გრაფიკულ ფორმებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს, აგებს და განმარტავს ცხრილებს/დიაგრამებს;

·         დაწყვილებული მონაცემებისთვის ქმნის გაფანტულობის დიაგრამას, თვისობრივად აღწერს მის ფორმას (რომელიმე წირის მაგალითად წრფის, პარაბოლის, მიდამოში კონცენტრაცია), აგებს საუკეთესო მისადაგების წრფეს;

·         ადგენს სიხშირეთა განაწილებას, წარმოადგენს მას გრაფიკულად და აღწერს მის ფორმას (მაგალითად, სიმეტრიულობა/ასიმეტრიულობა, მაქსიმუმის/მინიმუმის წერტილები).

მათ.XII.8.  მოსწავლე აღწერს შემთხვევითობას ალბათური მოდელების საშუალებით.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

• განასხვავებს დამოუკიდებელ და დამოკიდებულ ხდომილობებს, ასახელებს მათ მაგალითებს და ითვლის ხდომილობათა პირობით ალბათობებს;
• ითვლის რთულ ხდომილობის ალბათობას ჯამისა და ნამრავლის ფორმულების გამოყენებით;
• ატარებს ექსპერიმენტს მრავალჯერადი დაბრუნებით და ამ  ექსპერიმენტის საშუალებით ადგენს ურნის შედგენილობას _ აფასებს განსხვავებული ფერის ბურთულების რაოდენობათა შეფარდებას;
• იყენებს სიმულაციებს შერჩევის სტატისტიკების (მედიანა, საშუალო მნიშვნელობა, საშუალო კვადრატული გადახრა) ვარიაბელურობის გამოსაკვლევად და შერჩევის განაწილებათა ასაგებად.

მათ.XII.9.  მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.

შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:

·         ირჩევს მოცემული შერჩევისთვის ისეთ რიცხვით მახასიათებლებს, რომლებიც ხელსაყრელია ამოცანის ამოსახსნელად და ასაბუთებს თავის არჩევანს, ითვლის და ითვალისწინებს არჩეულ მახასიათებლებს გადაწყვეტილების მიღებისას;

·         ახდენს მონაცემთა ინტერპოლაციას/ექსტრაპოლაციას საუკეთესო მისადაგების წრფის საშუალებით;

·         ამოიცნობს ჩანაცვლებას შერჩევისა და გამოკითხვის ნიმუშში, მსჯელობს თუ როგორ ზეგავლენას ახდენს შერჩევითი მეთოდი და შერჩევის მოცულობა დასკვნათა სანდოობაზე;

·         ითვლის კორელაციის კოეფიციენტს და მსჯელობს დაწყვილებულ მონაცემებს შორის წრფივი კავშირის შესახებ.

პროგრამის შინაარსი

1.        რიცხვებთან დაკავშირებული რომელიმე ალგორითმი (მაგალითად, ევკლიდეს ალგორითმი).

2.        კავშირი ინფორმაციულ/საკომუნიკაციო ტექნოლოგიებსა და რიცხვთა თეორიებს შორის.

3.        ლოგარითმული სკალა.

4.        პოლინომიალური, წილად-წრფივი, კვადრატული/კუბური ფესვის შემცველი ფუნქციები.

5.        კვადრატული ფესვის შემცველი ერთუცნობიანი განტოლებები.

6.        ვარიანტების დათვლის ხერხები და ფორმულები, კომბინატორული ფორმულები.

7.        ორი სიმრავლის დეკარტული ნამრავლი; ორ სიმრავლეს შორის ასახვა, შებრუნებული ასახვა, სიმრავლის წინასახე.

8.        გრაფები და ხისებრი დიაგრამები: გრაფის განსაზღვრებa, გრაფის გამოსახვის ალგებრული და გეომეტრიული ხერხები.

9.        ფუნქციური დამოკიდებულება ფიგურის ზომებს შორის.

10.    ვექტორები სივრცეში, ვექტორული ნამრავლი.

11.    გეომეტრიული გარდაქმნის გამოსახვა დეკარტულ კოორდინატებში სიბრტყეზე.

12.    კუბის, მართკუთხა პარალელეპიპედის, მართი პრიზმის, პირამიდის, ცილინდრისა და კონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი და მოცულობა.

13.    მონაცემთა შეგროვების საშუალებანი: შერჩევითი მეთოდი, შერჩევა და ვარიაციული მწკრივი; შერჩევის რიცხვითი მახასიათებლები (მედიანა, საშუალო მნიშვნელობა, საშუალო კვადრატული გადახრა).

14.    მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისობრივი ნიშნები: დაწყვილებული მონაცემები, კორელაცია.

15.    მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემებისთვის. გაფანტულობის დიაგრამა, მისადაგების წირი.

16.    ალბათობა: პირობითი ალბათობა, ხდომილობათა დამოუკიდებლობა.; ალბათობათა ჯამისა და ნამრავლის ფორმულები; დიდ რიცხვთა კანონი (გაცნობის წესით).